从“导数就是斜率”讲起，不跳步地求解一个带齐次 Neumann 边界的二维 Poisson 方程。你可以改变模态与振幅，整套推导会同步更新。
每一步都回答三个问题：正在做什么、为什么能这样做、这一步留下了什么结果。
把一句紧凑的偏微分方程拆成定义域、已知量、未知量和边界条件四部分。
在单位正方形 Ω=[0,1]×[0,1] 内，我们寻找未知函数 u(x,y)。右边的 f(x,y) 是已知源项：
“−Δu”是 −(uxx+uyy) 的缩写。边界条件 ∂u/∂n=0 表示：沿着每条边向外的方向，u 的斜率都是 0。
做题前先分清哪些东西已知、哪些东西要求，后面每个符号才不会混乱。
把抽象的法向导数写成正方形四条边上能够直接计算的式子。
高中几何里，导数就是切线斜率。因此这个边界不是说 u=0，而是说曲面走到边缘时“变平了”。
正方形左右两边的法向沿 x 轴，上下两边的法向沿 y 轴。
先只看一条长度为 1 的线段，寻找两端斜率都为 0 的函数。
试正弦 ψ(s)=sin(βs)：ψ′(0)=β，一般不等于 0，所以正弦不适合当前边界。
再试余弦 ψ(s)=cos(βs)：
s=0 时，sin(0)=0，左端自动满足。要让 s=1 也满足，就要 sin(β)=0，因此 β=nπ，n=0,1,2,…。
二维问题可以先分别解决 x 和 y 方向，再把两个一维结果相乘。
给每块“函数积木”统一长度，使它们的内积等于 1。
余弦平方的积分是 1/2，所以乘上 √2 后，平方积分变成 1：
统一长度后，投影系数可以直接由内积读出，公式最干净。
把 x 方向的积木与 y 方向的积木相乘，得到铺满正方形的二维波纹。
因为当前 p、q 都大于 0，所以两个 √2 相乘得到 2：
对它求两次偏导，会回到自身，只多出一个常数倍：
长方形区域与 Laplace 算子都能按 x、y 分离，乘积基会保持正交。
在投入计算前，检查源项总量是否与零通量边界相容。
我们的源项含 cos(pπx) 和 cos(qπy)。任意正整数 p、q 都满足：
所以 f 在整个正方形上的正负部分正好抵消，方程确实有解。
四条边都不允许净通量流出，所以区域内部源项的总和必须为 0。
假设未知函数可以由所有二维基函数叠加而成，每个基函数前有一个待求数字。
ukl 与 fkl 都只是普通数字。复杂的“求函数”问题，将变成逐个寻找这些数字。
正交基就像坐标轴；平面向量能拆成 x、y 分量，函数也能拆成无穷多个正交模态。
用内积测量源项在每个基函数方向上有多少分量。
对当前唯一匹配的 (1,2) 模态：
其中“2”来自二维归一化基，两个“1/2”来自 x、y 方向的余弦平方积分。
正交性会让不匹配的频率全部积分为零，像筛子一样只留下相同模态。
通过两次分部积分，把难处理的 −Δu 换成已经知道结果的 −Δφₖₗ。
一维的分部积分公式是 ∫v″w=[v′w]−∫v′w′。对剩余积分再做一次，就能把二阶导数从 v 移到 w。
第 04 步已经知道 −Δφkl=λklφkl，所以：
这就是方法的核心：微分运算被“对角化”，每个模态之间不再互相干扰。
u 与 φ 的法向导数都在边界为 0，所以分部积分产生的边界项全部消失。
把第 07 步得到的 fₚq 除以第 04 步得到的特征值 λₚq。
λ 在分子、分母中完全约掉。其余模态的 fkl=0，所以对应的 ukl 也全是 0。
对所有非零模态，λₖₗ>0，因此可以安全地相除。
把求出的系数乘回基函数，再检查方程、四条边界和 Neumann 解的不唯一性。
一个候选函数只有同时满足方程和全部边界条件，才是真正的解。
关键不是记住某一道题，而是找到“符合边界的正交基”，再让微分算子在这组基上变成特征值。
每个模态都是一次除法：un=fn/λn。Laplace 方程就是 f=0 的特殊情况。
结论先说：文献非常丰富，但“物理基投影法”不是国际通行的固定名称，也不能只归功于一个人。对这个网页中的矩形、齐次 Neumann–Poisson 问题，更标准的说法是：
同一套算法里，包含了“模态叠加”“特征函数理论”“边界恒等式”和“残差投影”四条不同的历史线。
他在弦振动问题中明确使用正常模态的叠加；但当时还没有今天完整的函数空间与收敛理论。
这与网页中的余弦展开最直接相连。Fourier 把任意数据展开成三角级数并用于热方程。
Bubnov 有更早且非常接近的表述；国际文献沿用更广的名称仍是 Galerkin method。
下面不是“谁取代了谁”，而是几条思想逐步汇合的过程。每一项都附原始论文、原著扫描或正式出版页。
弦振动争论建立了早期偏微分方程理论。Bernoulli 用许多简谐振动叠加解释一条弦的运动，这是“把复杂解拆成模态”的直接前史。
读 Bernoulli 原文译本 ↗Fourier 在热传导问题中系统展开初始数据与解。今天网页里的正弦、余弦展开，最直接的经典源头就在这里。
看 1822 年原书扫描 ↗Green 的论文把区域内部的微分与边界上的通量联系起来。第 05、08 步里的相容条件和“把微分移到基函数上”，都沿着这条线发展。
看 1828 年初版档案 ↗他们研究带边界条件的二阶微分算子，说明不同特征函数彼此正交，并可用来展开函数。这给“为什么这些基函数足够拼出答案”提供了理论骨架。
读 1837 年原文 ↗指定法向导数的边界问题后来以 Neumann 命名。零模态、总源量相容条件与“解只差一个常数”，正是这类问题的结构特征。
看 Neumann 原著扫描 ↗Ritz 把变分问题限制在有限维试探空间里求解。它与后来的 Galerkin 法在自伴随问题上紧密相连，也通向有限元方法。
读 Ritz 原论文 ↗Bubnov 在 1913 年已有非常接近的做法；Galerkin 1915 年的论文使这种“残差对每个试验函数正交”的方法广为流传。国际文献通常简称 Galerkin 法。
看优先权与原论文书目 ↗快速 Fourier 变换把许多离散模态系数的计算量从平方级降到近似 N log N，使谱方法真正适合大规模计算。余弦变换可视作同一家族中的实数变体。
读 1965 年算法论文 ↗Orszag 把 Fourier / Galerkin 展开、快速变换与流体计算系统结合；1977 年专著进一步建立稳定性、收敛性和误差分析框架。
读 1971 年谱 Galerkin 论文 ↗谱方法被整理为完整的 PDE 数值体系；随后通过精心构造满足边界的基函数，离散矩阵可以变得稀疏，平滑问题还可获得指数型收敛。
读 1994 年高效谱 Galerkin 论文 ↗因此，这个例题不是一种脱离既有理论的“新解法”。它是经典特征函数展开的教学化重述；若写论文，建议用“基于 Neumann 特征函数的余弦谱 Galerkin 方法”作为可检索名称，再把“物理基投影法”保留为中文教学名称。
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Réflexions et éclaircissemens…（1753，现代论文内含原文译本）
Théorie analytique de la chaleur（1822）
An Essay on the Application of Mathematical Analysis…（1828）
Extrait d’un Mémoire sur le développement des fonctions…（1837）
Untersuchungen über das logarithmische und Newton’sche Potential（1877）
Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme…（1909）
Series in Some Questions of Elastic Equilibrium of Rods and Plates（1915；书目信息与历史说明）
An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series（1965）
Numerical Simulation… I. Galerkin (Spectral) Representations（1971）
Numerical Analysis of Spectral Methods（1977）
Spectral Methods in Fluid Dynamics（1988）
Efficient Spectral-Galerkin Method I（1994）